ভেক্টরের গুণন

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | - | NCTB BOOK

687

ভেক্টরের গুণন বলতে দুটি ভিন্ন ধরনের গুণন বোঝানো হয়: ডট প্রোডাক্ট (স্কেলার গুণন) এবং ক্রস প্রোডাক্ট (ভেক্টর গুণন)। এদের প্রতিটি গুণন ভিন্ন গাণিতিক ফলাফল প্রদান করে এবং ভিন্নভাবে ব্যবহার করা হয়।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

স্কেলার গুণন

1.3k

ডট প্রোডাক্ট (Dot Product)

ডট প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার গুণন। এটি দুটি ভেক্টরের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর ভিত্তি করে একটি স্কেলার মান দেয়।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর $→A=Axi+Ayj+Azk→A=Axi+Ayj+Azk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k</annotation></semantics></math>$ $A$ $=$ $A$ $x$ $$ $i$ $+$ $A$ $y$ $$ $j$ $+$ $A$ $z$ $$ $k$ এবং $→B=Bxi+Byj+Bzk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k</annotation></semantics></math>$ $B$ $=$ $B$ $x$ $$ $i$ $+$ $B$ $y$ $$ $j$ $+$ $B$ $z$ $$ $k$ হয়, তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হয়:

→A⋅→B=AxBx+AyBy+AzBz<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z</annotation></semantics></math>

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $A$ $x$ $$ $B$ $x$ $$ $+$ $A$ $y$ $$ $B$ $y$ $$ $+$ $A$ $z$ $$ $B$ $z$ $$

অথবা, ডট প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

→A⋅→B=∣→A∣∣→B∣cosθ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta</annotation></semantics></math>

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $∣$ $A$ $∣∣$ $B$ $∣$ $cos$ $θ$

এখানে,

$∣→A∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{A}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $A$ $∣$ এবং $∣→B∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{B}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $B$ $∣$ হল ভেক্টর $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ -এর মান।
$θ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta</annotation></semantics></math>$ $θ$ হল $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $→A=2i+3j+4k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = 2i + 3j + 4k</annotation></semantics></math>$ $A$ $=$ $2$ $i$ $+$ $3$ $j$ $+$ $4$ $k$ এবং $→B=i+2j+3k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = i + 2j + 3k</annotation></semantics></math>$ $B$ $=$ $i$ $+$ $2$ $j$ $+$ $3$ $k$ । তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হবে:

→A⋅→B=(2×1)+(3×2)+(4×3)=2+6+12=20<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>6</mn><mo>+</mo><mn>12</mn><mo>=</mo><mn>20</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times 1) + (3 \times 2) + (4 \times 3) = 2 + 6 + 12 = 20</annotation></semantics></math>

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $($ $2$ $\times$ $1$ $)$ $+$ $($ $3$ $\times$ $2$ $)$ $+$ $($ $4$ $\times$ $3$ $)$ $=$ $2$ $+$ $6$ $+$ $12$ $=$ $20$

বৈশিষ্ট্য:

ডট প্রোডাক্ট দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ণয়ে সহায়ক।
যদি $→A⋅→B=0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \cdot \vec{B} = 0</annotation></semantics></math>$ $A$ $\cdot$ $B$ $=$ $0$ হয়, তাহলে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

#. দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 18 এবং ভেক্টর গুণফলের মান $6 \sqrt{3}$ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ কত?

60°

90°

30°

120°

পদার্থবিদ্যা স্কেলার গুণন ভেক্টর

#. ভেক্টর $\vec{A} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ ও $\vec{B} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ এর স্কেলার গুণফল হবে-

$6 \hat{i} + 6 \hat{j} - 7 \hat{k}$

$- 8 \hat{i} + 82 \hat{j} - 7 \hat{k}$

পদার্থবিদ্যা স্কেলার গুণন

#. দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুনফল 18 একক । এদের ভেক্টর গুনফলের মানব $6 \sqrt{3}$ একক। ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ কত?

150°

-30°

30°

0°

পদার্থবিদ্যা স্কেলার গুণন

#. নিচের কোনটি স্কেলার রাশি নয়?

কাজ

ক্ষমতা

শক্তি

বল

পদার্থবিদ্যা স্কেলার গুণন

#. দুইটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোন কত হলে ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার ও ভেক্টর গুনফলের সাংখ্যিক মান সমান হবে।

30°

90°

45°

180°

পদার্থবিদ্যা স্কেলার গুণন

View more questions

ভেক্টর গুণন

643

ক্রস প্রোডাক্ট (Cross Product)

ক্রস প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে ভেক্টর গুণন, যা একটি নতুন ভেক্টর উৎপন্ন করে। এই নতুন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্বভাবে থাকে।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর $→A=Axi+Ayj+Azk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k</annotation></semantics></math>$ $A$ $=$ $A$ $x$ $$ $i$ $+$ $A$ $y$ $$ $j$ $+$ $A$ $z$ $$ $k$ এবং $→B=Bxi+Byj+Bzk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k</annotation></semantics></math>$ $B$ $=$ $B$ $x$ $$ $i$ $+$ $B$ $y$ $$ $j$ $+$ $B$ $z$ $$ $k$ হয়, তাহলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট হবে:

→A×→B=(AyBz−AzBy)i−(AxBz−AzBx)j+(AxBy−AyBx)k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>j</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) i - (A_x B_z - A_z B_x) j + (A_x B_y - A_y B_x) k</annotation></semantics></math>

$A$ $\times$ $B$ $=$ $($ $A$ $y$ $$ $B$ $z$ $$ $-$ $A$ $z$ $$ $B$ $y$ $$ $)$ $i$ $-$ $($ $A$ $x$ $$ $B$ $z$ $$ $-$ $A$ $z$ $$ $B$ $x$ $$ $)$ $j$ $+$ $($ $A$ $x$ $$ $B$ $y$ $$ $-$ $A$ $y$ $$ $B$ $x$ $$ $)$ $k$

অথবা, ক্রস প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

∣→A×→B∣=∣→A∣∣→B∣sinθ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta</annotation></semantics></math>

$∣$ $A$ $\times$ $B$ $∣$ $=$ $∣$ $A$ $∣∣$ $B$ $∣$ $sin$ $θ$

এখানে,

$∣→A∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{A}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $A$ $∣$ এবং $∣→B∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{B}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $B$ $∣$ হল ভেক্টর $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ -এর মান।
$θ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta</annotation></semantics></math>$ $θ$ হল $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

→A×→B=(3×3−4×2)i−(2×3−4×1)j+(2×2−3×1)k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>j</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = (3 \times 3 - 4 \times 2)i - (2 \times 3 - 4 \times 1)j + (2 \times 2 - 3 \times 1)k</annotation></semantics></math>

$A$ $\times$ $B$ $=$ $($ $3$ $\times$ $3$ $-$ $4$ $\times$ $2$ $)$ $i$ $-$ $($ $2$ $\times$ $3$ $-$ $4$ $\times$ $1$ $)$ $j$ $+$ $($ $2$ $\times$ $2$ $-$ $3$ $\times$ $1$ $)$ $k$ $=$ $($ $9$ $-$ $8$ $)$ $i$ $-$ $($ $6$ $-$ $4$ $)$ $j$ $+$ $($ $4$ $-$ $3$ $)$ $k$ $=$ $i$ $-$ $2$ $j$ $+$ $k$

বৈশিষ্ট্য:

ক্রস প্রোডাক্টে উৎপন্ন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্ব।
যদি $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ পরস্পর সমান্তরাল হয়, তাহলে $→A×→B=0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = 0</annotation></semantics></math>$ $A$ $\times$ $B$ $=$ $0$ হয়।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

দ্বিমাত্রিক ও ক্রিমাত্রিক জগতে i, j, k একটি ভেক্টরকে i, j, k দ্বারা প্রকাশ সমতলে ভেক্টরের অংশক সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ

ভেক্টরের গুণন

স্কেলার গুণন

ডট প্রোডাক্ট (Dot Product)

সূত্র:

উদাহরণ:

বৈশিষ্ট্য:

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

#. নিচের কোনটি স্কেলার রাশি নয়?

#. দুইটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোন কত হলে ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার ও ভেক্টর গুনফলের সাংখ্যিক মান সমান হবে।

ভেক্টর গুণন

ক্রস প্রোডাক্ট (Cross Product)

সূত্র:

উদাহরণ:

বৈশিষ্ট্য:

All Notifications

Promotion